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L’algèbre de Boole

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L’algèbre de Boole permet de comparer des états logiques. Il se compose de trois opérateurs logiques de bases : le ET, le OU et le NON. Rien qu’avec ces 3 opérateurs on peut créer n’importe quel système logique.

1.1 Le ET logique

    Aussi appelé AND.

    Symbole :

symbole_ET
AND

    A et B sont les entrées, Y est la sortie.
    Principe :

    La relation entre Y, A et B s’écrit : Y = A . B :

    – si A = B = 0 alors Y = 0
    – si A = 1, B = 0 alors Y= 0
    – si A = 0, B = 1 alors Y = 0
    – si A = B = 1 alors Y = 1

    Autrement dit, la sortie est à 1 si et seulement si toutes les entrées sont à 1.

    On peut établir ce tableau récapitulatif (appelé table de vérité) :

ABY
000
010
100
111

    Le ET pourra donc servir à tester si toutes les entrées d’un système sont à 1 !

Remarque :
    – nous avons étudié un ET à 2 entrées, mais on peut en mettre n’importe quel nombre, le principe restera le même : pour que la sortie soit à 1, il faut que toutes les entrées soient à 1.

1.2 Le OU logique

    Aussi appelé OR.

    Symbole :

symbole_OU
OR

    A et B sont les entrées, Y est la sortie.
    Principe :

    La relation entre Y, A et B s’écrit : Y = A + B :

    – si  A =  B = 0 alors Y = 0
    – si A = 1, B = 0 alors Y= 1
    – si A = 0, B = 1 alors Y = 1
    – si A = B = 1 alors Y = 1

    
Autrement dit, la sortie est à 1 si au moins une des entrées est à 1.

    Table de vérité :

ABY
000
011
101
111


    Avec un OU, on pourra donc voir si au moins une des entrées d’un système est à 1.

    Remarque :
    – on peut mettre autant d’entrées qu’on veut, le principe restera le même : si au moins une entrée est à 1, alors la sortie est à 1.

1.3 Le NON logique

    Aussi appelé INVERSEUR ou NO.

    Symbole :

symbole_NON
INVERSEUR

    A est l’entrée, Y la sortie.

    Principe :

    La relation entre Y et A s’écrit : Y = /A :

    – si A = 0 alors Y = 1
    – si A = 1 alors Y = 0

    
Autrement dit, la sortie est l’inverse de l’entrée.

    Table de vérité :

AY
01
10

1.4 Autres opérateurs…

    Il existe d’autres opérateurs dont le fonctionnement pourra être expliqué par la combinaison des 3 opérateurs de base.
    Par exemple, étudions l’opérateurs NAND :
      Symbole du NAND :

symbole_NAND
NAND

    Principe :

    On note Y = /(A.B)
    Tout d’abord on peut remarquer que ce symbole est un “mix” entre celui du ET (pour le demi-ovale) et celui du NON (pour le petit rond sur la sortie). Ce “mix” se retrouve aussi dans le nom : NAND <=> NON + AND(ET).
    Pour le fonctionnement, c’est la même chose : il s’agit du mélange entre un ET et un NON !
    C’est à dire que cet opérateur fonctionne en ET inversé : là où il y avait un 1 en sortie, il y aura un 0; et vice-versa.

    On obtient donc la table de vérité du NAND :

ABY
001
011
101
110

    On constate donc que dès qu’au moins une entrée est à 0, alors la sorie du NAND est à 1.

    Remarques :
    – on peut citer d’autres opérateurs :
        – le NOR  = NON OU. Le NOR aura un fonctionnenment inverse au OU.
        – le “OU exclusif” : il fonctionne comme un OU, sauf dans le cas où toutes les entrées sont à 1 car la sortie sera à 0.

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